Noyaux reproduisants d’Aronszajn des mécaniques classique et quantique

Pierre-Cyril Aubin-Frankowski (1, 2)

1 ENPC - École des Ponts ParisTech
2 CAS - Centre Automatique et Systèmes

Cette étude présente comment la théorie des noyaux reproduisants d'Aronszajn permet de fonder des liens entre d'une part la mécanique classique et les fonctions valeur et d'autre part les espaces de Hilbert de la mécanique quantique. Nous montrons que le principe de moindre action et le propagateur de Feynman définis sur des trajectoires sont des exemples de noyaux reproduisants. A chaque lagrangien correspond ainsi un espace de Hilbert qu'il n'est pas nécessaire de postuler a priori. Les noyaux reproduisants permettent une description fonctionnelle, et non distributionnelle, des espaces de la mécanique quantique dont l'espace de Fock. Cet essai ouvre sur plusieurs directions de recherche et ne résout pas encore la construction formelle de l'intégrale de Feynman. Il rassemble en revanche un faisceau d'indices sur le pouvoir explicatif des noyaux reproduisants dans les approches variationnelles des mécaniques classique et quantique.

Mots clés: espaces à noyaux reproduisants; intégrales de chemin de Feynman; principe de moindre action; espaces de Hilbert de la mécanique quantique

Domaines: Physique Quantique [quant-ph]; Physique mathématique [math-ph]; Optimisation et contrôle [math.OC]; Analyse fonctionnelle [math.FA]

Pierre-Cyril Aubin-Frankowski. Noyaux reproduisants d’Aronszajn des mécaniques classique et quantique : Moindre action de Maupertuis et propagateur de Feynman. 2018. ⟨hal-01533963v2⟩