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# Pathwise optimal transport bounds between a one-dimensional diffusion and its Euler scheme

1 MATHRISK - Mathematical Risk handling
Inria Paris-Rocquencourt, UPEM - Université Paris-Est Marne-la-Vallée, ENPC - École des Ponts ParisTech
Abstract : In the present paper, we prove that the Wasserstein distance on the space of continuous sample-paths equipped with the supremum norm between the laws of a uniformly elliptic one-dimensional diffusion process and its Euler discretization with $N$ steps is smaller than $O(N^{-2/3+\varepsilon})$ where $\varepsilon$ is an arbitrary positive constant. This rate is intermediate between the strong error estimation in $O(N^{-1/2})$ obtained when coupling the stochastic differential equation and the Euler scheme with the same Brownian motion and the weak error estimation $O(N^{-1})$ obtained when comparing the expectations of the same function of the diffusion and of the Euler scheme at the terminal time $T$. We also check that the supremum over $t\in[0,T]$ of the Wasserstein distance on the space of probability measures on the real line between the laws of the diffusion at time $t$ and the Euler scheme at time $t$ behaves like $O(\sqrt{\log(N)}N^{-1})$.
Type de document :
Article dans une revue
Domaine :

Littérature citée [30 références]

https://hal-enpc.archives-ouvertes.fr/hal-00727430
Contributeur : Aurélien Alfonsi Connectez-vous pour contacter le contributeur
Soumis le : lundi 3 septembre 2012 - 16:16:31
Dernière modification le : jeudi 20 janvier 2022 - 17:29:32
Archivage à long terme le : : mardi 4 décembre 2012 - 03:41:55

### Fichiers

weaktrajeuler7.pdf
Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

### Identifiants

• HAL Id : hal-00727430, version 1
• ARXIV : 1209.0576

### Citation

Aurélien Alfonsi, Benjamin Jourdain, Arturo Kohatsu-Higa. Pathwise optimal transport bounds between a one-dimensional diffusion and its Euler scheme. Annals of Applied Probability, Institute of Mathematical Statistics (IMS), 2014, http://dx.doi.org/10.1214/13-AAP941. ⟨hal-00727430⟩

### Métriques

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